Relazione di relatività
Prima di iniziare ricordiamoci che…
1) le leggi fisiche sono le stesse solo sui sistemi di riferimento inerziali, ovvero quei sistemi in cui v è costante o v=0.
2) La velocità della luce è sempre c.
Il paradosso dei gemelli
Prendiamo una coppia di fratelli gemelli: Cip sale su un’ astronave, mentre Ciop rimane sulla Terra. Consideriamo che l’astronave su cui sale Cip parta dalla Terra nell’anno 2006; mantenendo una velocità costante v questa raggiunge la stella S distante 8 anni luce dal nostro pianeta; appena arrivato su S, Cip scende, e subito prende un’altra astronave avente stessa velocità v della prima, e ritorna sulla Terra, dove ritrova il gemello Ciop che non se ne è mai andato dalla Terra.
Supponiamo che v sia = 0.8 c. Per questa velocità si ha:
∆Τ/∆t = √1-v2/c2 =√1-(0,8*0,8)=0,6
per cui, secondo la teoria relativistica, per Cip che è in movimento il tempo scorre al 60% del tempo che passa per Ciop che è fermo. Quindi:
Nel sistema di riferimento della Terra (quindi per il gemello Ciop), l’astronave percorre 8 anni luce in 10 anni nel viaggio di andata, e ne impiega altrettanti nel viaggio di ritorno: essa quindi ritorna sulla Terra nel 2026. Sull’astronave, però, il tempo scorre al 60% del tempo della Terra, quindi secondo l’orologio di Cip il viaggio dura 6 anni per l’andata e altrettanti per il ritorno: all’arrivo sulla Terra, quindi, il calendario di Cip segna l’anno 2018. Quindi Ciop è di 8 anni più vecchio di Cip.
Però…
Per Cip è la Terra che si allontana da lui, alla velocità di 0,8c, e quindi, se per lui passano 12 anni (visto che ∆Τ è sempre il solito) per Ciop passeranno 12*√1-0,82=7,2 anni, quindi quando Cip arriva sulla Terra di nuovo, è lui ad essere più vecchio di 4,8 anni.
Ma allora chi sarà più vecchio dopo il viaggio su S? Cip o Ciop?
Tracciamo un grafico della situazione appena descritta. Facciamone almeno due, rispetto a diversi sistemi di riferimento inerziali:
Rispetto ad Ciop, che è rimasto sempre sulla Terra, per il quale quindi, è proprio la Terra ad essere il sistema di riferimento:
La linea universo di Ciop(_), come possiamo, vedere è una retta che coincide con t (visto che s resta sempre 0) e che rappresenta i 20 anni. quindi le sue coordinate sono (0,20)
La linea universo di Cip(_) è quella che si può dividere in 3 eventi ben precisi:
C(0,0) partenza da T;
D(8,10)arrivo su S;
E(0,20) arrivo su T.
Nel sistema di riferimento della Terra,notiamo dal grafico che i 10 anni passati per Ciop mentre Cip andava su S, e i 6 anni trascorsi per B per arrivare su S, sono eventi simultanei.
Verifichiamo..
CD1=10
D= ∆Τ=√∆t2-∆x2=√100-64=6
Essendo D e D1 allineati gli eventi sono simultanei.
Da questo grafico deduciamo che, visto che Cip percorre un percorso maggiore, è il gemello che invecchia meno.
La linea universo di Ciop(_), come possiamo, vedere è una retta che coincide con t (visto che s resta sempre 0) e che rappresenta i 20 anni.
La linea universo di Cip(_) è quella che si può dividere in 3 eventi ben precisi:
C(0,0) partenza da T;
D(8,10)arrivo su S;
E(0,20) arrivo su T.
Nel sistema di riferimento della Terra,notiamo dal grafico che i 10 anni passati per Ciop mentre Cip andava su S, e i 6 anni trascorsi per B per arrivare su S, sono eventi simultanei.
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Verifichiamo..
CD1=10
D= ∆Τ=√∆t2-∆x2=√100-64=6
Essendo D e D1 allineati gli eventi sono simultanei.
Da questo grafico deduciamo che, visto che Cip percorre un percorso maggiore, è il gemello che invecchia meno.
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Vogliamo adesso effettuare il grafico rispetto a Cip.
Ripensiamo un attimo però alle mosse di Cip: egli va su S e poi torna indietro. Quindi Cip non può essere ritenuto un sistema inerziale poiché inverte la sua direzione,e quindi modifica la sua velocità (la velocità è un vettore: invertendo la direzione, viene modificata anche se il modulo resta lo stesso).
Prendiamo dunque come sistema di riferimento l’astronave di andata.
Ciop lo vediamo allontanarsi a una velocità pari a 0,8c.
Cip invece starà sulla astronave di andata per 6 anni, poi cambierà astronave al fine di tornerà sulla Terra.
Anche stavolta possiamo vedere 3 eventi ben distinti:
C(0,0) partenza da T;
D(0,6) arrivo su S,cambio astronave;
E(x,t)arrivo su T.
Come possiamo vedere dal grafico, Cip percorre un percorso graficamente maggiore nel tempo rispetto ad Ciop anche stavolta,e quindi, il suo invecchiamento è minore (visto che in relatività ∆Τ=√∆t2-∆x2 ) ,e che quindi il tempo scorre più lentamente per ∆t (ovvero, per Ciop).
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Ciop lo vediamo allontanarsi a una velocità pari a 0,8c.
Cip invece starà sulla astronave di andata per 6 anni, poi cambierà astronave al fine di tornerà sulla Terra.
Anche stavolta possiamo vedere 3 eventi ben distinti:
C(0,0) partenza da T;
D(0,6) arrivo su S,cambio astronave;
E(x,t)arrivo su T.
Come possiamo vedere dal grafico, Cip percorre un percorso graficamente maggiore nel tempo rispetto ad Ciop anche stavolta,e quindi, il suo invecchiamento è minore (visto che in relatività ∆Τ=√∆t2-∆x2 ) ,e che quindi il tempo scorre più lentamente per ∆t (ovvero, per Ciop).
Verifichiamo…
cerchiamo le coordinate di E, e quindi verifichiamo se per Cip il tempo di andata su S sarà uguale al tempo che impiega per tornare sulla Terra. Se non lo sarà, vorrà dire che abbiamo sbagliato.
∆Τ=√∆t2-∆x2
x/t=0,8
(t-0)2-(x-0)2=202(poiché CE è 20,dato che rappresenta il tempo passato sulla Terra che è 20a).
x=0,8t
t2-x2=202
*
t2– 0,82t2=202
*
t=33,333333..
x=26,666666666667à-26,66666666667
33,33333333333333-6=27,33333333333333
∆Τ=√27,333333333333332-26,666666666672=6
Quindi è sicuramente il gemello Cip ad invecchiare di meno. Il paradosso è inesistente.
Questo perché dobbiamo ricordarci di valutare ogni evento rispetto a un sistema di riferimento inerziale, ed in questo caso, Cip non lo era.
probabilmente senza grafici vi sembra arabo… va bèèèè…
alla 3 e 4 ora ho avuto Brogio: HELP!!
bilanciamento di equazioni chimiche…troppo difficileeeee
e poi Zucca…
alla fine della quinta invece d andare a casina sono andata a comprare il regalo di compleanno di Silvia…
e poi pullman dell’una e quaranta con la tata!!!
Però avrei preferito prendere il treno…lo so i operchè..ufffi!!!!!!!!!
oggi sarà bene studi!! e poi palestra (spero!!!!) baciotti..ciao a tutti!
anche se potrebbe andare mooooooooooooooooooolto meglio!! ma ci sono cose peggiori al mondo…
bravo Colu..
roba da matti… va bè…!!! 
GIUS4EVER…)
